A.
Pengertian Logika Matematika
Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang
merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan
memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal paling
penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari logika matematika adalah
kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan mana yang benar atau salah.
Materi logika matematika yang akan dibahas kali ini adalah mengenai hukum
logika matematika, tabel kebenaran, invers, konvers, kontraposisi dan penarikan
kesimpulan.
B.
Hukum-hukum Logika
Matematika
Hukum logika
1.
Hukum komutatif
p ∧ q ≡ q ∧ p
p ∨ q ≡ q ∨ p
2.
Hukum asosiatif
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q
∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q
∨ r)
3.
Hukum distributif
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q)
∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q)
∧ (p ∨ r)
4.
Hukum identitas
p ∧ B ≡ p
p ∨ S ≡ p
5.
Hukum ikatan
p ∧ S ≡ S
p ∨ B ≡ B
6.
Hukum negasi
p ∧ ~p ≡ S
p ∨ ~p ≡ B
7.
Hukum negasi ganda
~(~p) ≡ p
8.
Hukum idempotent
p ∧ p ≡ p
p ∨ p ≡ p
9.
Hukum De Morgan
~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
10. Hukum penyerapan
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
11. Negasi B dan S
~B ≡ S
~S ≡ B
p → q ≡ ~p ∨ q
p ↔ q ≡ (~p ∨ q)
∧ (p ∨ ~q)
C. Tabel Kebenaran
Dalam logika matematika,
tabel kebenaran adalah tabel dalam matematika yang digunakan untuk melihat
nilai kebenaran dari suatu premis/pernyataan. Jika hasil akhir adalah benar
semua (dilambangkan B, T, atau 1), maka disebut tautologi. Sedangkan jika salah
semua (S, F, atau 0) disebut kontradiksi. Premis yang hasil akhirnya gabungan
benar dan salah disebut kontingensi.
Tabel kebenaran untuk semua
logikal operasi binary
P
|
Q
|
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
D. Konvers, Invers dan Kontraposisi
Konsep ini dapat
diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap pernyataan implikasi memiliki
sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti yang ada pada gambar bawah ini:
·
Invers dari {\displaystyle
p\to q}p→q adalah ~p → ~q
·
Konvers dari {\displaystyle
p\to q} p→q adalah q → p
·
Kontraposisi dari {\displaystyle
p\to q} p→q adalah ~q → ~p
E. Penarikan
Kesimpulan
Penarikan kesimpulan
1. Modus
ponens
Premis 1: p → q
Premis 2: p
Kesimpulan: q
Contoh:
Jika saya makan di kelas maka saya minum
di kelas. Saya makan di kelas. Apakah saya minum di kelas?
Solusi:
p
→ q
p
Maka kita bisa menarik kesimpulan q, yang artinya saya minum di kelas.
2. Modus
tollens
premis 1: p → q
premis 2: ~q
kesimpulan: ~p
Contoh:
Jika saya makan di kelas maka saya minum
di kelas. Saya tidak minum di kelas. Apakah saya makan di kelas?
Solusi:
p → q
¬q
Maka kita bisa menarik kesimpulan ¬p, yang
artinya saya tidak makan di kelas.
3. Silogisme
premis 1: p → q
premis 2: q → r
kesimpulan: p → r
Contoh:
Tidak ada pemalas yang sukses. Semua yang
sukses sejahtera hidupnya. Jadi . . .
A. Sebagian pemalas tidak sukses.
B. Tidak ada pemalas yang sejahtera
hidupnya.
C. Semua pemalas sukses.
D. Sebagian yang sejahtera hidupnya bukan
pemalas.
E. Semua pemalas sejahtera hidupnya
Jawabannya:
Sebagian yang sejahtera hidupnya bukan
pemalas (D)
